SOAL BILANGN REAL

SOAL - SOAL SISTEM BILANGAN REAL

Anda pasti masih ingat bagaimana memanipulasikan bilangan, tetapi tidak ada salahnya untuk mengulang kembali sejenak. Dalam soal - soal 1-10, sederhanakanlah sebanyak mungkin. Pastikan untuk menghilangkan semua tanda kurung dan memudahkan semua pecahan.
1. 2[3 - 2(4 - 8)]

2. -4[3(-6 + 13) - 2(5 - 9)]

3. 3/4 - (7/12 - 2/9)

4. 14/13 (2/3 - 1/7)2

5. (11/49 - 3/7)/(11/49 + 3/7)

6. 1 - 2/(2 + 3/4 )

7. (akar 2 + akar 3 )(akar 2 - akar 3)

8. 3 akar 2 (akar 2 - akar 8)

9. (5/6 + 1/3)pangkat (-2)

10. [1/akar 2 - 5/(2 akar 2)]pangkat (-2)

Sedikit latihan aljabar akan baik untuk mahasiswa kalkulus. Dalam soal - soal 11-20, lakukan operasi yang diminta dan sederhanakan.
11. (2x - 3)(2x + 3)

12. (2t - 1)3

13. (x2 - 4)/(x - 2)

14. (x3 - 8)/(2x - 4)

15. (2x - 2x2)/(x3 - 2x2 + x)

16. 18/(x2 + 3x) - 4/x + 6/(x + 3)

17. 2/(6y - 2) + y/(9y2 - 1) - (2y + 1)/(1 - 3y)

18. (x2 + x -6)/(x2 - 1) . (x2 + x - 2)/(x2 + 5x + 6)

19. [{x/(x-3) - 2/(x2 - 4x + 3)} / {5/(x - 1) + 5/(x - 3)}

20. (x2 - x - 6)/(x-3)

21. Cari nilai masing - masing yang berikut; jika tak terdefinisi, katakan demikian.
(a) 0.0
(b) 0/0
(c) 0/8
(d) 8/0
(e) 8 pangkat 0
(f) 0 pangkat 8

22. Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah tanpa arti sebagai berikut: Andaikan a tidak = 0. Jika a/0=b, maka a=0, b=0, yang merupakan kontradiksi. Sekarang cari alasan mengapa 0/0 juga tanpa arti.

23. Bilangan prima adalah bilangan asli (bilangan bulat positif) yang hanya mempunyai dua bilangan asli pembagi, bilangan itu sendiri dan 1 bilangan asli. Beberapa bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Menurut Teorema Dasar Hitungan, setiap bilangan asli ( selain satu ) dapat dituliskan sebagai hasil kali suatu himpunan unik bilangan prima. Misalnya, 45= 3.3.5. Tuliskan masing - masing yang berikut sebagai suatu hasil kali bilangan - bilangan prima. Catatan: Hasil kali tersebut adalah trivial jika bilangan itu adalah prima-yaitu, ia hanya mempunyai satu faktor.
(a) 240
(b) 310
(c) 119
(d) 5400

24. Gunakan Teorema Dasar Bilangan (Soal 23) untuk membuktikan bahwa kuadrat sebarang bilangan asli ( selain 1 ) dapat dituliskan sebagai hasil kali suatu himpunan prima dengan masing - masing bilangan prima ini muncul sebanyak bilangan genap. Misalnya (45)2=3.3.3.3.5.5.

25. Buktikan bahwa akar 2 adalah takrasional. Petunjuk: Andaikan akar 2=p/q, di mana p dan q adalah bilangan - bilangan asli (bukan 1). Maka 2 = p2/q2, sehingga 2q2=p2. Sekarang gunakan Soal 24 untuk menemukan suatu kontradiksi.

26. Buktikan bahwa akar 3 adalah takrasional (lihat soal 39)

27. Buktikan bahwa jumlah dua bilangan rasional adalah rasional.

28. (a) Buktikan bahwa jumlah sebuah bilangan rasional dan bilangan takrasional adalah takrasional. (b) Buktikan bahwa hasil kali sebuah bilangan rasional (selain 0) dengan sebuah bilangan takrasional adalah takrasional. Petunjuk: Coba buktikan melalui kontradiksi.

29. Mana di antara yang berikut rasional dan mana yang takrasional?
(a) akar 4
(b) 0,375
(c) 1 + akar 2
(d) (1 + akar 3)kuadrat
(e) (3 akar 2)(5 akar 2)
(f) 5 akar 2

30. Apakah jumlah dua bilangan takrasional pasti takrasional? Jelaskan.

31. Nyatakanlah apakah masing - masing yang berikut benar atau salah.
(a) -2 < -20
(b) 1 > -39
(c) -3 < 5/9
(d) -4 > -16
(e) 6/7 < 34/39
(f) -5/7 < -44/59

32a. Buktikan masing - masing jika a > 0, b > 0,
(a) a < b <=> a2 < b2
(b) a < b <=> 1/a > 1/b


32. Buktikan bahwa rata - rata dua buah bilangan terletak di antara kedua bilangan itu; artinya, buktikan bahwa
a < b => a < (a+b)/2 < b

33. Mana di antara yang berikut selalu benar jika a lebih kecil atau sama dengan b?
(a) a - 4 lebih kecil atau sama dengan b - 4
(b) -a lebih kecil atau sama dengan -b
(c) a2 lebih kecil atau sama dengan ab
(d) a3 lebih kecil atau sama dengan a2b

Penyelesaian

1. 2[3 - 2(4 - 8)] = 2[3 - 2(-4)] = 2[3 + 8] = 2[11] = 22.

2. -4[3(-6 + 13) - 2(5 - 9)] = -4[3(7) - 2(-4)] = -4[21 + 8] = -4[29] = -116

3. 3/4 - (7/12 - 2/9) = 3/4 - (21/36 - 8/36) = 3/4 - 13/36 = 27/36 - 13/36 = 14/36 = 7/18

4. 14/13 (2/3 - 1/7)2 = 14/13 (14/21 - 3/21)2 = 14/13 (11/21)2 = 14/13 (121/441) = 2/13 (121/63) = 242/819

5. (11/49 - 3/7)/(11/49 + 3/7) = (11/49 - 21/49)/(11/49 + 21/49) = (-10/49) / (33/49) = -10/33

6. 1 - 2/(2 + 3/4) = 1 - 2/(8/4 + 3/4) = 1 - 2/(11/4) = 1 - 2(4)/11 = 1 - 8/11 = 11/11 - 8/11 = 3/11

7. (akar 2 + akar 3)(akar 2 - akar 3) = [(akar 2 * akar 2) - (akar 2 * akar 3) + (akar 2 * akar 3) - (akar 3 * akar 3) = [ 2 - 3] = -1

8. 3 akar 2 (akar 2 - akar 8) = (3 akar 2)(akar 2) - (3 akar 2)(akar 8) = 3(2) - 3(akar 16) = 6 - 3(4) = 6 - 12 = -6

9. (5/6 + 1/3)pangkat -2 = (5/6 + 2/6)pangkat -2 = (7/6)pangkat -2 = (6/7)2 = 36/49

10. [1/akar 2 - 5/(2 akar 2)]pangkat -2 = [(2akar 2 - 5akar 2)/2(2)]pangkat -2 = [(-3akar 2)/4]pangkat -2 = [4/(-3akar 2)]pangkat 2 = 16/9(2) = 16/18 = 8/9

11. (2x - 3)(2x + 3) = 4(x2) + 3(2x) - 3(2x) - 9 = 4 (x2) - 9

12. (2t - 1)3 = (2t - 1)(2t - 1)(2t - 1) = (4t2 - 2t - 2t + 1)(2t - 1) =(4t2 - 4t + 1)(2t - 1) = 8t3 - 4t2 - 8t2 + 4t - 1 = 8t3 - 12t2 + 4t - 1

13. (x2 - 4)/(x - 2) = (x - 2)(x + 2)/(x - 2) = x + 2

14. (x3 - 8)/(2x - 4) = (x2 + 2x + 4)(x - 2)/2(x - 2) = (x2 + 2x + 4)/2

15. (2x - 2x2)/(x3 - 2x2 + x) = [-2x(x - 1)]/[x(x2 - 2x + 1)] = [-2(x - 1)]/(x - 1)(x - 1) = -2/(x - 1)

16. (x2 + x - 6)/(x2 - 1) . (x2 + x - 2)/(x2 + 5x + 6) = [(x + 3)(x - 2)]/[(x - 1)(x + 1)] . [(x + 2)(x - 1)]/[(x + 3)(x + 2)] = (x - 2)/(